Metoda charakterystyk dla prawie-liniowego równania różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu

Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu

\( a(x,y,u)u_x+b(x,y,u)u_y=c(x,y,u), \quad (x,y)\in D, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a, \hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc b, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc c \hskip 0.3pc \) są funkcjami klasy \( \hskip 0.3pcC^1 \hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip 0.3pc\Omega \subset \mathbb R^3. \hskip 0.3pc \)Niech \( \hskip 0.3pc D=\{(x,y): (x,y,z)\in \Omega \,\,{\textrm{dla pewnego}}\,\, z \in \mathbb R\}. \hskip 0.3pc \)
Zakładamy ponadto, że funkcje \( \hskip 0.3pc a,\hskip 0.3pc b \hskip 0.3pc \) nie zerują się równocześnie w żadnym punkcie obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega. \hskip 0.3pc \)
Przypomnijmy, że rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \) nazywamy funkcje \( \hskip 0.3pc u \in C^1(D), \hskip 0.3pc \) spełniającą dla każdego \( \hskip 0.1pc (x,y)\in D \hskip 0.3pc \) równanie ( 1 ).
Rodzinę wszystkich rozwiązań równania ( 1 ) nazywamy całką ogólną tego równania.
Jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze \( \hskip 0.3pc D, \hskip 0.3pc \) to powierzchnia \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) dana wzorem \( \hskip 0.3pc z=u(x,y), \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D \hskip 0.3pc \) nazywa się powierzchnią całkową lub wykresem rozwiązania równania ( 1 ).
Zauważmy, że dla dowolnego punktu \( \hskip 0.3pc P_0 =(x_0,y_0,z_0) \in S \hskip 0.3pc \) wektor

\( \vec n(x_0,y_0) = \big(u_x(x_0,y_0),\,\,u_y(x_0,y_0),\,\, -1\big) \)

jest prostopadły do powierzchni \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pcP_0. \hskip 0.3pc \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ), zatem

(2)

\( a(P_0)u_x(x_0,y_0)+b(P_0)u_y(x_0,y_0)-c(P_0)=0, \)

co oznacza, że wektor \( \hskip 0.3pc \big(a(P_0),\,b(P_0),\,c(P_0)\big) \hskip 0.3pc \) jest prostopadły do wektora \( \hskip 0.3pc \vec n(x_0,y_0), \hskip 0.3pc \) a zatem jest styczny do wykresu rozwiązania \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc P_0. \hskip 0.3pc \)
Rozważmy układ równań

(3)

\( \begin{cases} \dfrac{dx}{dt}= a(x,y,z),&\\\dfrac{dy}{dt}= b(x,y,z), &\\\dfrac{dz}{dt}= c(x,y,z).& \end{cases} \)

Krzywe, które są rozwiązaniami układu ( 3 ), nazywami charakterystykami równania ( 1 ), a same równania ( 3 ), równaniami charakterystyk.
Pokażemy, że jeśli dane jest rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) określone w zbiorze \( \hskip 0.3pc D,\hskip 0.3pc \) to przez dowolny punkt powierzchni całkowej \( \hskip 0.1pc S \hskip 0.3pc \) danej wzorem \( \hskip 0.3pc z=u(x,y), \hskip 0.4pc \) \( (x,y)\in D, \hskip 0.3pc \) przechodzi dokładnie jedna charakterystyka.

Na odwrót, mając daną rodzinę charakterystyk, możemy za ich pomocą skonstruować rozwiązanie równania.

Uwaga 1:

Załóżmy, że przez dowolny punkt powierzchni \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) danej równaniem \( \hskip 0.3pcz=u(x,y),\hskip 0.4pc (x,y)\in D, \hskip 0.3pc \) przechodzi rozwiązanie układu równań ( 3 ) całkowicie leżące na \( \hskip 0.3pc S. \hskip 0.3pc \)Wówczas funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze \( \hskip 0.3pc D. \hskip 0.3pc \)

Istotnie, zgodnie z przyjętym założeniem, przez dowolny punkt \( \hskip 0.3pc P=(x,y,u(x,y)) \hskip 0.3pc \) powierzchni \( \hskip 0.3pc S, \hskip 0.3pc \) przechodzi rozwiązanie układu równań ( 3 ) leżące na \( \hskip 0.3pc S. \hskip 0.3pc \) Oczywiście wektor \( \hskip 0.3pc\vec w(P), \hskip 0.3pc \) styczny do tego rozwiązania w punkcie \( \hskip 0.3pc P, \hskip 0.3pc \) leży na płaszczyżnie stycznej do powierzchni \( \hskip 0.3pc S\hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc P, \hskip 0.3pc \) a zatem jest prostopadły do wektora

\( \vec n(x,y)=(u_x(x,y),\,u_y(x,y),\,-1). \)

Zgodnie z równaniami ( 3 )

\( \vec w(P )=\Big(a\big(x,y,u(x,y)\big),b\big(x,y,u(x,y)\big), c\big(x,y,u(x,y)\big)\Big). \)

Oczywiście iloczyn skalarny wektorów \( \hskip 0.3pc \vec n(x,y) \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \vec w(P) \hskip 0.3pc \) jest równy zeru, czyli

\( a\big(x,y,u(x,y)\big) u_x(x,y) +b\big(x,y,u(x,y)\big) u_y(x,y) -c\big(x,y,u(x,y)\big)=0. \)

Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego \( \hskip 0.3pc (x,y)\in D, \hskip 0.3pc \) oznacza to, że \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze \( \hskip 0.3pc D. \hskip 0.3pc \)

Uwaga 2:

Załóżmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc z=u(x,y),\hskip 0.3pc (x,y)\in D, \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ). Niech \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) będzie powierzchnią całkową odpowiadającą temu rozwiązaniu. Niech \( \hskip 0.1pc \gamma\hskip 0.1pc \) będzie charakterystyką równania ( 1 ) przechodzącą przez punkt \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0,z_0) \in S. \hskip 0.3pc \) Wówczas krzywa \( \hskip 0.3pc \gamma \hskip 0.3pc \) leży całkowicie na powierzchni \( \hskip 0.3pc S. \hskip 0.3pc \)

Istotnie, niech \( \hskip 0.3pc \gamma (t)=\big(x(t),\,y(t),\,z(t)\big),\hskip 0.3pc t\in I, \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem układu równań zwyczajnych ( 3 ) z warunkami początkowymi \( \hskip 0.3pc x(t_0)=x_0,\hskip 0.3pc y(t_0)=y_0, \hskip 0.3pc z(t_0)=z_0. \) Rozważmy funkcje \( \hskip 0.3pc U:\,I \to \mathbb R \hskip 0.3pc \) daną wzorem

\( U(t)=z(t)-u\big(x(t),y(t)\big). \)

Oczywiście \( \hskip 0.3pc U(t_0)=0, \hskip 0.3pc \) bowiem \( \hskip 0.3pc z_0=u(x_0,y_0). \hskip 0.3pc \) Różniczkując funkcje \( \hskip 0.3pc U \hskip 0.3pc \) względem \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) i uwzględniając fakt, że \( \hskip 0.3pc \gamma \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem układu ( 3 ) otrzymamy

(4)

\( \begin{aligned} U^\prime(t)=&z^\prime(t)-u_x\big(x(t),y(t)\big) x^\prime(t)-u_y\big(x(t),y(t)\big) y^\prime(t)= c \big(x(t),y(t),z(t)\big)-\\& u_x\big(x(t),y(t)\big) a\big(x(t),y(t),z(t)\big) -u_y\big(x(t),y(t)\big) b\big(x(t),y(t),z(t)\big). \end{aligned} \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc z(t)=U(t)+u\big(x(t),y(t)\big) , \hskip 0.3pc \) więc z ( 4 ) mamy

(5)

\( \begin{aligned} U^\prime (t)=& c \Big(x(t),y(t),U(t)+u\big(x(t),y(t)\big)\Big)- \\& u_x\big(x(t),y(t)\big) a\Big(x(t),y(t),U(t)+u(x(t),y(t))\Big) -\\& u_y\big(x(t),y(t)\big) b\Big(x(t),y(t),U(t)+u(x(t),y(t))\Big). \end{aligned} \)

Jest to względem \( \hskip 0.3pc U \hskip 0.3pc \) równanie różniczkowe zwyczajne.
Ponieważ prawa strona tego równania jest klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) (względem zmiennej \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \)) - zgodnie z teorią równań różniczkowych zwyczajnych - dla zadanego warunku początkowego istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.
Stąd i z faktu, że \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) wynika, że funkcja \( \hskip 0.3pc U=0 \hskip 0.3pc \) jest jedynym rozwiązaniem równania ( 5 ) spełniającym warunek początkowy \( \hskip 0.3pc U(t_0)=0. \hskip 0.3pc \)
Zatem \( \hskip 0.3pc U(t)= z(t)- u(x(t),y(t))=0 \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t\in I, \hskip 0.3pc \) co oznacza, że wykres krzywej \( \hskip 0.3pc \gamma \hskip 0.3pc \) leży całkowicie na powierzchni \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) i kończy to dowód uwagi 2.

Uwaga 3:

Mając daną krzywą \( \hskip 0.3pc \gamma :\,I \to \mathbb{R}^3 \hskip 0.3pc \) zadaną równaniami

(6)

\( \gamma (s)=\big(\gamma_1(s) ,\gamma_2(s) ,\gamma_3(s)\big), \)

będziemy szukać takiego rozwiązania \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) równania ( 1 ), aby jego wykres zawierał krzywą \( \hskip 0.3pc \gamma,\hskip 0.3pc \) to znaczy, aby zachodził warunek

(7)

\( \gamma_3 (s)=u\big(\gamma_1(s) ,\gamma_2(s)\big) \quad {\rm dla}\quad s\in I. \)

Ponadto okreslimy dla jakich krzywych \( \hskip 0.3pc \gamma \hskip 0.3pc \) problem ( 1 ), ( 7 ) będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie, a kiedy nieskończenie wiele rozwiązań.

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc \gamma :I\to \mathbb{R}^3 \hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) i niech \( \hskip 0.3pc s_0 \in I. \hskip 0.3pc \) Załóżmy, że współczynniki \( \hskip 0.3pc a,\hskip 0.3pc b,\hskip 0.3pc c \hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) są klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc P_0=(x_0,y_0,z_0) =\big(\gamma_1(s_0) ,\gamma_2(s_0) ,\gamma_3(s_0)\big) \hskip 0.3pc \) i ponadto

(8)

\( \begin{vmatrix}\gamma_1^\prime (s_0) & \gamma_2^\prime (s_0) \\a(x_0,y_0,z_0) & b(x_0,y_0,z_0) \end{vmatrix} \neq 0. \)

TEZA:

Równanie ( 1 ) posiada dokładnie jedno rozwiązanie w pewnym otoczeniu \( \hskip 0.3pc D \hskip 0.3pc \) punktu \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0), \hskip 0.3pc \)które spełnia warunek ( 7 )

w pewnym stosownie dobranym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc s_0. \hskip 0.3pc \)

DOWÓD:

Ponieważ funkcje \( \hskip 0.3pc a,\hskip 0.3pc b,\hskip 0.3pc c \hskip 0.3pc \) są klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) w otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc P_0, \hskip 0.3pc \) więc istnieje otoczenie \( \hskip 0.3pc J=(s_0 -\delta , s_0+\delta )\subset I \hskip 0.3pc \) punktu \( \hskip 0.3pc s_0 \hskip 0.3pc \) takie, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \in J \hskip 0.3pc \) układ ( 3 ) z warunkami początkowymi

\( x(0)=\gamma_1(s), \quad y(0)=\gamma_2(s),\quad z(0)=\gamma_3(s) \)

posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Oznacza to, że przez każdy punkt \( \hskip 0.3pc \gamma (s), \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc s\in I, \hskip 0.3pc \) przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie układu ( 3 ), które możemy zapisać w postaci:

(9)

\( x(t)= X(s,t), \quad y(t)= Y(s,t), \quad z(t)= Z(s,t). \)

Z teorii równań różniczkowych zwyczajnych i przyjętych założeń wynika, że funkcje \( \hskip 0.3pc X,\hskip 0.3pc Y,\hskip 0.3pc Z\hskip 0.3pc \) w pewnym otoczeniu \( \hskip 0.3pc \Delta \hskip 0.3pc \) punktu \( \hskip 0.3pc (s_0,0)\in \mathbb{R}^2 \hskip 0.3pc \) posiadają ciągłe pochodne cząstkowe względem obu zmiennych. Zauważmy jeszcze, że w otoczeniu tym funkcje \( \hskip 0.3pc X,\hskip 0.3pc Y,\hskip 0.3pc Z\hskip 0.3pc \) spełniają równania:

(10)

\( X_t = a(X,Y,Z), \quad Y_t = b(X,Y,Z), \quad Z_t = c(X,Y,Z). \)

oraz warunki początkowe:

(11)

\( X(s,0)=\gamma_1(s),\quad Y(s,0)=\gamma_2(s),\quad Z(s,0)=\gamma_3(s). \)

(W szczególności \( \hskip 0.3pc X(s_0,0)=x_0,\hskip 0.3pc Y(s_0,0)=y_0, \hskip 0.3pc Z(s_0,0)=z_0). \hskip 0.3pc \)
Na mocy powyższych obserwacji, zależności ( 11 ) i ( 10 ) oraz wyboru punktu \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0,z_0) \hskip 0.3pc \) mamy

\( X_s(s_0,0)=\gamma_1^\prime (s_0),\quad Y_s(s_0,0)=\gamma_2^\prime (s_0) \)

oraz

\( X_t(s_0,0)= a(x_0,y_0,z_0),\quad Y_t(s_0,0)= b(x_0,y_0,z_0). \)

Wykorzystując ostatnie równości, warunek ( 8 ) możemy zapisać w postaci

(12)

\( \begin{vmatrix}X_s(s_0,0) & Y_s(s_0,0) \\X_t(s_0,0) & Y_t(s_0,0) \end{vmatrix} \neq 0. \)

która mówi, że dla odwzorowania \( \hskip 0.3pc \Delta \ni (s,t) \to (X(s,t),Y(s,t)) \hskip 0.3pc \) spełnione są założenia twierdzenia o funkcji odwrotnej. Istnieją zatem otoczenie \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) punktu \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0) \hskip 0.3pc \) oraz funkcje \( \hskip 0.3pcS,\,T:\, V\to \mathbb{R} \hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) takie, że

(13)

\( x=X\big(S(x,y),T(x,y)\big), \quad y=Y\big(S(x,y),T(x,y)\big) \)

oraz

(14)

\( s=S\big(X(s,t),Y(s,t)\big), \quad t=T\big(X(s,t),Y(s,t)\big). \)

W szczególności

(15)

\( S(x_0,y_0)=s_0,\quad T(x_0,y_0)=0. \)

Bez utraty ogólności rozważań (dobierając stosownie zbiory \( \hskip 0.3pc \Delta \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) ) można przyjąć, że odwzorowanie \( \hskip 0.3pc (X,\,Y) \hskip 0.3pc \) przekształca zbiór \( \hskip 0.3pc \Delta \hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pcV, \hskip 0.3pc \) a odwzorowanie \( \hskip 0.3pc (S,\,T) \hskip 0.3pc \) zbiór \( \hskip 0.3pcV \hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pc\Delta, \hskip 0.3pc \) przy czym - zgodnie z ( 15 ) - punktowi \( \hskip 0.3pc (s_0,0) \hskip 0.3pc \) odpowiada punkt \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0). \hskip 0.3pc \)
Rozważmy funkcje \( \hskip 0.3pc u:\,\Omega \to \mathbb{R} \hskip 0.3pc \) daną wzorem

(16)

\( u(x,y)= Z\big(S(x,y),\,T(x,y)\big), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc Z\hskip 0.3pc \) jest funkcją określoną w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Delta \hskip 0.3pc \) wzorami ( 9 ).
Pokażemy, że tak określona funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest szukanym rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze \( \hskip 0.3pcV. \hskip 0.3pc \)
Różniczkując równość ( 16 ) względem zmiennych \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) otrzymamy

(17)

\( u_x = Z_s S_x+Z_t T_x,\qquad u_y=Z_s S_y+Z_t T_y. \)

Następnie różniczkując równości ( 13 ) względem zmiennych \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( 1=X_s S_x+X_t T_x, \quad 0=X_s S_y+X_t T_y, \)

\( 0 =Y_s S_x+Y_t T_x, \quad 1=Y_s S_y+Y_t T_y, \)

skąd nietrudno wyliczyć, że

\( T_x=\dfrac{Y_s}{Y_s X_t-Y_t X_s},\qquad T_y=\dfrac{X_s}{X_s Y_t-X_t Y_s}, \)

\( S_x=\dfrac{Y_t}{X_s Y_t-X_t Y_s},\qquad S_y=\dfrac{X_t}{X_t Y_s-X_s Y_t}. \)

Wykorzystując związki ( 10 ), ( 16 ) i ( 17 ) oraz ostatnie równości otrzymamy

\( \begin{aligned}& a(x,y,u) u_x+b(x,y,u) u_y \,=\, X_t \big(Z_s S_x+Z_t T_x\big)+Y_t \big(Z_s S_y+Z_t T_y\big)=\\& \n X_t \Big(\dfrac{Z_s Y_t}{X_s Y_t-X_t Y_s}+ \dfrac{Z_t Y_s}{Y_s X_t-Y_t X_s} \Big)+\,\,Y_t \Big(\dfrac{Z_s X_t}{X_t Y_s-X_s Y_t}+\dfrac{Z_t X_s}{X_s Y_t-X_t Y_s}\Big)=\\ & \dfrac{Z_s \big(X_t Y_t-X_t Y_t\big)}{X_s Y_t-X_t Y_s}+ \dfrac{Z_t \big(X_s Y_t-X_t Y_s\big)}{X_s Y_t-X_t Y_s} \,=\,\,Z_t\,\,=\,\,c(x,y,u),\end{aligned} \)

co oznacza, że funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) w zbiorze \( \hskip 0.3pcV. \hskip 0.3pc \)
Korzystając następnie z ( 11 ), ( 16 ) i ( 14 ) otrzymamy

\( u\big(\gamma_1(s),\, \gamma_2(s)\big)=u\big(X(s,0),\,Y(s,0)\big)=Z\Big(S\big(X(s,0),\,Y(s,0)\big),\, T\big(X(s,0),\,Y(s,0)\big)\Big)=Z(s,0)=\gamma_3(s), \)

co oznacza. że rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) spełnia warunek ( 7 ) w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc s_0. \hskip 0.3pc \)
Pozostaje sprawdzić, że rozwiązanie to jest określone jednoznacznie.
Niech \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) będzie dowolnym rozwiązaniem równania ( 1 ) zawierającym krzywą \( \hskip 0.3pc \gamma. \hskip 0.3pc \) Na mocy uwagi 2 charakterystyka równania ( 1 ) przechodząca przez dowolny punkt krzywej \( \hskip 0.3pc \gamma \hskip 0.3pc \) leży całkowicie na powierzchni całkowej \( \hskip 0.3pc z=v(x,y).\hskip 0.3pc \)
W szczególności wynika stąd, że powierzchnia

\( x=X(s,t),\quad y=Y(s,t),\quad z=Z(s,t), \qquad (s,t) \in \Delta, \)

czyli zgodnie z ( 16 ) powierzchnia \( \hskip 0.3pc z=u(x,y)=Z\big(S(x,y),T(x,y)\big), \hskip 0.3pc \) leży całkowicie na powierzchni całkowej \( \hskip 0.3pc z=v(x,y) \hskip 0.3pc \) co oznacza, że lokalnie rozwiązania \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc v \hskip 0.3pc \) pokrywają się. Dowód twierdzenia 1 został zakończony.

Rozpatrzmy teraz przypadek

(18)

\( \begin{vmatrix}\gamma_1^\prime (s) & \gamma_2^\prime (s) \\a(P) & b(P) \end{vmatrix}= 0, \)

dla \( \hskip 0.3pc s\in J, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc P=\big(X(s,0), Y(s,0),Z(s,0)\big)=\big(\gamma_1(s),\gamma_2(s),\gamma_3(s)\big). \hskip 0.3pc \)
Warunek ( 18 ) możemy zapisać w postaci

(19)

\( \gamma_1^\prime (s) = \lambda a(P),\quad \gamma_2^\prime (s)=\lambda b(P) . \)

Po zróżniczkowanie ( 7 ) względem \( \hskip 0.3pc s \hskip 0.3pc \) otrzymamy

(20)

\( \gamma_3^\prime (s)= u_x\,\big(\gamma_1(s),\,\gamma_2(s)\big) \gamma_1^\prime (s)+ u_y\, \big(\gamma_1(s), \,\gamma_2(s)\big) \gamma_2^\prime (s) \)

natomiast z ( 1 ) i ( 11 ) wynika natychmiast, że

(21)

\( c(P) = a(P) u_x\,\big(\gamma_1(s),\,\gamma_2(s)\big) + b(P) u_y\, \big(\gamma_1(s),\,\gamma_2(s)\big) \)

Z równości ( 19 ), ( 20 ) i ( 21 ) wynika, że \( \hskip 0.3pc \gamma_3^\prime (s) =\lambda c(P). \hskip 0.3pc \) Zatem wektory \( \hskip 0.3pc \big(\gamma_1^\prime (s),\, \gamma_2^\prime (s), \gamma_3^\prime (s)\big) \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \big(a(P),\, b(P),\, c(P)\big), \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc s\in J, \hskip 0.3pc \) są równoległe, co oznacza, że \( \hskip 0.3pc\gamma \hskip 0.3pc \) jest charakterystyką równania ( 1 ). Zauważmy, że w tym przypadku problem ( 1 ), ( 7 ) posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Istotnie, niech \( \hskip 0.3pc \tilde\gamma \hskip 0.3pc \) będzie krzywą przecinającą krzywą \( \hskip 0.3pc \gamma. \hskip 0.3pc \) Na mocy twierdzenia 1 istnieje (dokładnie jedno) rozwiązanie równania ( 1 ) zawierające krzywą \( \hskip 0.3pc \tilde \gamma. \hskip 0.3pc \) Z drugiej strony \( \hskip 0.3pc \gamma \hskip 0.3pc \) ma wspólny punkt z tym rozwiązaniem, zatem na mocy uwagi 2, również krzywa \( \hskip 0.3pc \gamma \hskip 0.3pc \) leży całkowicie na tym rozwiązaniu. Ponieważ takich krzywych \( \hskip 0.3pc \tilde\gamma \hskip 0.3pc \) może być nieskończenie wiele, więc otrzymamy nieskończenie wiele rozwiązań zawierających krzywą \( \hskip 0.3pc \gamma. \hskip 0.3pc \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka